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triangulo de pascal

EL TRIANGULO DE PASCAL

 

        1
           1    1
        1    2    1
     1    3    3    1
   1    4    6    4    1
1   5   10  10    5   1
            ...

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito

Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

La fórmula es:

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:
          (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (x)2 + 12 +2 · x2 · (x) + 2 x2 · 1 + 2 · (x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 2x3 + 3x2 2x + 1

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a11x1 + a12x2 + .....................+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + .....................+a2nxn = b2

...............................................................

am1x1 + am2x2 + .....................+amnxn = bm

 

xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).

bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

aij y b i .

m, n ;        m > n, ó, m = n, ó, m < n.

 

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

METODO PARA RESOLVER LA ECUACION LINEAL

Los métodos para resolver ecuaciones datan de los tiempos de los babilonios (2000 a.C.).
La forma que tenemos de enunciar que dos cantidades o expresiones son iguales es mediante una ecuación (o igualdad).

p.ej.  2x - 3 = x + 5    que se denomina ecuación en x

  • Observamos que este enunciado tiene dos partes o expresiones separadas por el signo =, una en el lado izquierdo (LI), y otra en el lado derecho (LD).
  • Es una expresión de igualdad con una variable, la x.
  • La solución, o raíz, de la ecuación es un número a que produce una expresión cierta al sustituirlo por la x, es decir a satisface la ecuación.
  • Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones que tienen exáctamente las mismas soluciones.
  • Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuación.
  • Una ecuación algegraica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.
  • Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se denomina identidad, p.ej.  x2+2x+1 = (x+1)2. Si hay números que no sean solución, la expresión se llama simplemente ecuación, p.ej.  5x-10 = 2x+8.
  • La ecuación más básica en álgebra es la ecuación lineal,

 

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